# 75/313 - Heptagons ou la beauté des mathématiques

Mercredi 22 mars au soir, peu de temps après avoir écrit l'article 77, je visionne sur Arte le documentaire Comment j'ai détesté les maths, de Jérôme Peyon. Passionnante plongée dans l'univers des mathématiciens, avec l'inévitable Cédric Villani (je ne dis pas ça en mauvaise part, si on le voit si souvent c'est bien qu'il est l'un des rares à défendre avec passion sa discipline dans les médias),  quasiment en fil conducteur du film. Des maths elles-mêmes, on en parle peu finalement, comme le souligne Étienne Ghys dans une tribune du site images.math.cnrs.fr, en janvier 2014. Le même mathématicien souligne avoir été frappé par le fait que tous ses collègues invoquent la beauté des mathématiques mais qu'aucun ne parvient à la décrire :

Presque tous semblent d’ailleurs considérer que la capacité de ressentir cette sorte de beauté pourrait être le « visa d’entrée du pays des maths ». Une scène montre le géomètre Robert Bryant face à une statue intitulée « Eightfold Way » qui est inspirée d’un objet mathématique célèbre (parmi les mathématiciens) : la quartique de Klein. Bryant essaye d’expliquer pourquoi cet objet est beau. Non pas la statue qu’il a face à lui, mais la quartique abstraite, dont il dit lui-même qu’elle ne peut pas s’apprécier dans l’espace de dimension 3. Il comprend alors qu’il n’a aucun espoir de partager son émotion esthétique avec le spectateur. Pour l’admirer, cette quartique, il faut comprendre les maths correspondantes, et bien sûr Bryant fait partie de ceux qui les comprennent… Dans un moment de silence, assez émouvant, on voit que Bryant ne ment pas, qu’il ressent presque physiquement cette émotion. Pauvre spectateur qui ne comprend pas les quartiques : je ne sais pas comment il peut réagir face à cette émotion qui lui est inaccessible. Il se sent probablement exclu.

Ce passage m'a semblablement ému. D'autant plus, on va le voir, que la sculpture fait une place centrale à ce fameux nombre 7 qui venait juste de me donner l'article 77.

La quartique de Klein, découverte en 1879 par le mathématicien allemand Félix Klein, est une figure de géométrie hyperbolique, autrement dit non-euclidienne (pour aller vite, le théorème de Pythagore n'y est plus valable et la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à 180°).

La quartique de Klein est le quotient d'un pavage uniforme triangulaire d'ordre 7.

Je me suis ensuite documenté sur la sculpture, en retrouvant tout d'abord sur le web son créateur : il s'agit d' Helaman Ferguson, qui allie compétences en mathématiques et savoir-faire en sculpture : “I celebrate mathematics with sculpture and sculpture with mathematics. Eons-old stone strikes me as a perfect medium through which to celebrate timeless mathematics.” Il crée à partir d'algorithmes, comme par exemple cette sculpture en bronze :

Figureight Knot Complement vii/CMI, Helaman Ferguson

Source : Scienceblogs

Je tiens immédiatement à préciser que je n'entends rien à ces équations, et que je suis bien incapable d'en saisir la justesse, je veux juste montrer la collusion profonde ici entre l'art et la science.
En ce qui concerne la sculpture du documentaire, il s'agit donc de The Eightfold Way :

The Eightfold Way, marbre et serpentine, Helaman Ferguson, Berkeley, Californie

William P. Thurston a écrit un bel article sur cette sculpture dans la revue de la MSRI (Mathematical Science Research Institute). Les forts en maths s'y reporteront avec grand profit. J'en extrais juste les passages suivants, pour leur proximité avec ma propre enquête.

"The abstract surface is impossible to render exactly in three-dimensional space, so the sculpture should be thought of as a kind of topological sketch. Ridges and valleys carved into the white marble surface divide it into 24 regions. Each region has 7 sides, and represents the ideal of a regular heptagon (7-gon)."

"The circular base area of the sculpture is also tiled by heptagonal tiles, in a regular geometric pattern that resembles a honeycomb. The sides of the heptagons are arcs of circles; when these arcs are continued, they meet the boundary at a 90◦ angle. This circular base area is a map of the hyperbolic or non-Euclidean plane. In hyperbolic geometry, it is possible to construct regular heptagons whose angles are exactly 120◦; these heptagons fit together to tile the hyperbolic plane. The physical map of the hyperbolic plane is distorted, but in hyperbolic geometry itself all the heptagons have an identical size and shape."

Léonard de Pise,  (1175 − v.1250), aussi connu sous le nom de Leonardo Fibonacci, qui a rapporté d’Orient la notation numérique indo-arabe et a écrit et traduit des livres influents de mathématiques.

"The heptagonal hyperbolic honeycomb has an interesting relationship to the Fibonacci sequence

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .,

in which each number, starting with the third, is the sum of the preceding two. Imagine growing the hyperbolic honeycomb like a crystal, starting with the central white group of 8 heptagons as a seed. At each unit of time, adjoin a heptagon wherever there is a concave angle—that is, adjoin all the heptagons that touch at least two of the heptagons already present. At the first step, you will add 7 heptagons. Second, you will add the 14 green heptagons that fill out the next complete ring. On the third step, you add 21 heptagons, consisting of 14 red and 7 white heptagons (the centers of green groups). The sequence, if we include the ring of 7 white heptagons in the initial seed, goes

7, 7, 14, 21, 35, 56, 91, 147, 238, 385, 623, . . ..

Each term is the sum of the preceding two: this sequence is 7 times the Fibonacci sequence !"

Le chaos et les pendules

Sur les mathématiques du chaos dont j'ai dit assez quelle source d'inspiration elles constituaient pour moi, on peut voir avec grand profit le film Chaos, une aventure mathématique, constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Les auteurs,  Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez le présentent comme un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l'effet papillon et de la théorie du chaos.

Voici également un petit film reçu récemment par mail (d'une collègue amie dont je serai bien étonné qu'elle ait connaissance de mes interrogations en ces matières obscures).



 Contemplant cette danse, je ne peux m'empêcher de penser que nos existences sont peut-être à l'image de ces trajectoires pendulaires, avec des moments harmoniques, de synchronisation intégrale, alternant avec des moments d'anomie, où chaque pendule/vécu vaque en solitaire, apparemment désaccordé des autres. Les rapports, correspondances  et résonances que j'établis jour après jour dessinent comme les figures mouvantes d'une cohérence toujours menacée, toujours renaissante.

Exploration par marche au hasard

Difficile de revenir, de reprendre pied dans ce petit coin de réalité après la grande déferlante théâtrale, difficile de trouver un point d'appui, un angle d'attaque quand, en somme, ne vous taraude que le besoin d'écrire, sans savoir vraiment quoi écrire. Tais-toi, dirait l'autre, si tu n'as rien à dire. Cela semble tellement évident, mais ce n'est pas si simple, car si j'ai quelque chose à dire, ce quelque chose ne m'apparaît pas clairement, il est au bout de mon chemin d'écriture, dans une pénombre encore inexplorée. Et c'est bien l'espoir de rejoindre ce quelque chose qui sera pour moi-même une surprise, c'est cet espoir-là qui me conduit à cet effort, même si je sais qu'il est souvent déçu.

Partons donc de l'une des lectures de ce mois d'août, du livre le plus récemment dévoré, Théorème vivant (un lapsus a failli me faire écrire "Testament vivant", et j'en frémis presque après coup, ne voulant pas plus que ça interroger ce que cela révèle de trouble dans mon inconscient), le récit du mathématicien Cédric Villani, qui, depuis la Médaille Fields qui lui fut décernée en 2010, a réussi à maintenir sur lui l'attention des médias (toutes proportions gardées, car un mathématicien même auréolé internationalement sera toujours moins connu par le grand public qu'un people starisé par la télévision - par exemple, Google affiche 136 000 résultats pour Cédric Villani quand il en affiche 821 000 pour Eve Angeli, dont le QI doit être inversement proportionnel à l'avance de notoriété). Et l'on pourrait malgré tout s'en agacer, si le bonhomme, qui a bien compris la logique médiatique et se prétend lui-même la Lady Gaga des maths, avec un look tout à fait singulier, le plus souvent lavallière et broche en araignée, n'affichait pas en même temps une sorte de fraîcheur désarmante, un enthousiasme communicatif devant les beautés de la science.



Cédric Villani ou la poésie dans l'équation par telerama

Son récit, selon ses propres mots, "suit la genèse d’une avancée mathématique, depuis le moment où l’on décide de se lancer dans l’aventure, jusqu’à celui où l’article annonçant le nouveau résultat - le nouveau théorème - est accepté pour publication dans une revue internationale. Entre ces deux instants, la quête des chercheurs, loin de suivre une trajectoire rectiligne, s’inscrit dans un long chemin tout en rebonds et en méandres, comme il arrive souvent dans la vie. "


Ce qui est très surprenant avec ce livre, c'est que d'une part il lève le voile sur une discipline, un monde, finalement très mal connus du grand public, en en montrant l'aspect proprement humain à travers les sinuosités de la recherche, les sentiments qu'elle développe sur un spectre très large allant du désespoir à l'illumination, et, d'autre part il est tout à fait étranger à l'idée de vulgarisation, rempli qu'il est de formules mathématiques incompréhensibles pour le commun des mortels. On n'en sait guère plus long à la fin du bouquin sur la mécanique des fluides, mais on a approché d'un peu plus près le mystère de la génération de la théorie mathématique. J'aime cette idée d'une approche non linéaire, qui fait confiance au hasard, comme Cédric Villani le rappelle à la page 201 du livre :

"Dans les années 1950, une révolution scientifique s'est produite quand on a compris que, pour explorer un système trop riche en possibles, il est souvent préférable de s'y déplacer au hasard, plutôt que le quadriller méthodiquement ou d'y choisir des échantillons successifs de manière parfaitement aléatoire. C'était l'algorithme de Métropolis-Hastings, c'est aujourd'hui tout le domaine des MCMC, les Monte Carlo Markov Chains, dont l'efficacité déraisonnable en physique, en chimie, en biologie, n'a toujours pas été expliquée. Ce n'est pas une exploration déterministe, ce n'est pas non plus une exploration complètement aléatoire, c'est une exploration par marche au hasard."

Ce passage a produit sur moi comme un effet  libératoire, comme s'il justifiait après coup ma propre démarche erratique dans presque tous les domaines. Je note qu'il distingue l'aléatoire et le hasard, ce qui peut sembler surprenant à première vue, mais je le comprends en tant que le hasard fait intervenir l'intuition, cette voix intérieure qui vous dit d'aller ici ou là, alors même qu'aucune démonstration ne peut être faite du bien-fondé de votre décision. C'est l'intuition qui guide, appuyée sur une "ferme croyance en la recherche d'harmonies préexistantes" (p. 147), et c'est là aussi une des leçons de ce récit, c'est le soupçon d'harmonies cachées qui motive la recherche, en tout cas celle de Cédric Villani, en profondeur.

On peut encore retrouver le curieux animal (ses compagnons de l'ENS l'avaient surnommé le Marsu) sur France-Culture.

Image finale qui n'a rien à voir en apparence, une porte de grange sur le plateau de l'Aubrac, avec son massif encadrement de granit, et deux petits chats tigrés apparaissant au fenestron. Fragilité et jeunesse contrastant avec la rusticité minérale des lieux.