# 75/313 - Heptagons ou la beauté des mathématiques

Mercredi 22 mars au soir, peu de temps après avoir écrit l'article 77, je visionne sur Arte le documentaire Comment j'ai détesté les maths, de Jérôme Peyon. Passionnante plongée dans l'univers des mathématiciens, avec l'inévitable Cédric Villani (je ne dis pas ça en mauvaise part, si on le voit si souvent c'est bien qu'il est l'un des rares à défendre avec passion sa discipline dans les médias),  quasiment en fil conducteur du film. Des maths elles-mêmes, on en parle peu finalement, comme le souligne Étienne Ghys dans une tribune du site images.math.cnrs.fr, en janvier 2014. Le même mathématicien souligne avoir été frappé par le fait que tous ses collègues invoquent la beauté des mathématiques mais qu'aucun ne parvient à la décrire :

Presque tous semblent d’ailleurs considérer que la capacité de ressentir cette sorte de beauté pourrait être le « visa d’entrée du pays des maths ». Une scène montre le géomètre Robert Bryant face à une statue intitulée « Eightfold Way » qui est inspirée d’un objet mathématique célèbre (parmi les mathématiciens) : la quartique de Klein. Bryant essaye d’expliquer pourquoi cet objet est beau. Non pas la statue qu’il a face à lui, mais la quartique abstraite, dont il dit lui-même qu’elle ne peut pas s’apprécier dans l’espace de dimension 3. Il comprend alors qu’il n’a aucun espoir de partager son émotion esthétique avec le spectateur. Pour l’admirer, cette quartique, il faut comprendre les maths correspondantes, et bien sûr Bryant fait partie de ceux qui les comprennent… Dans un moment de silence, assez émouvant, on voit que Bryant ne ment pas, qu’il ressent presque physiquement cette émotion. Pauvre spectateur qui ne comprend pas les quartiques : je ne sais pas comment il peut réagir face à cette émotion qui lui est inaccessible. Il se sent probablement exclu.

Ce passage m'a semblablement ému. D'autant plus, on va le voir, que la sculpture fait une place centrale à ce fameux nombre 7 qui venait juste de me donner l'article 77.

La quartique de Klein, découverte en 1879 par le mathématicien allemand Félix Klein, est une figure de géométrie hyperbolique, autrement dit non-euclidienne (pour aller vite, le théorème de Pythagore n'y est plus valable et la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à 180°).

La quartique de Klein est le quotient d'un pavage uniforme triangulaire d'ordre 7.

Je me suis ensuite documenté sur la sculpture, en retrouvant tout d'abord sur le web son créateur : il s'agit d' Helaman Ferguson, qui allie compétences en mathématiques et savoir-faire en sculpture : “I celebrate mathematics with sculpture and sculpture with mathematics. Eons-old stone strikes me as a perfect medium through which to celebrate timeless mathematics.” Il crée à partir d'algorithmes, comme par exemple cette sculpture en bronze :

Figureight Knot Complement vii/CMI, Helaman Ferguson

Source : Scienceblogs

Je tiens immédiatement à préciser que je n'entends rien à ces équations, et que je suis bien incapable d'en saisir la justesse, je veux juste montrer la collusion profonde ici entre l'art et la science.
En ce qui concerne la sculpture du documentaire, il s'agit donc de The Eightfold Way :

The Eightfold Way, marbre et serpentine, Helaman Ferguson, Berkeley, Californie

William P. Thurston a écrit un bel article sur cette sculpture dans la revue de la MSRI (Mathematical Science Research Institute). Les forts en maths s'y reporteront avec grand profit. J'en extrais juste les passages suivants, pour leur proximité avec ma propre enquête.

"The abstract surface is impossible to render exactly in three-dimensional space, so the sculpture should be thought of as a kind of topological sketch. Ridges and valleys carved into the white marble surface divide it into 24 regions. Each region has 7 sides, and represents the ideal of a regular heptagon (7-gon)."

"The circular base area of the sculpture is also tiled by heptagonal tiles, in a regular geometric pattern that resembles a honeycomb. The sides of the heptagons are arcs of circles; when these arcs are continued, they meet the boundary at a 90◦ angle. This circular base area is a map of the hyperbolic or non-Euclidean plane. In hyperbolic geometry, it is possible to construct regular heptagons whose angles are exactly 120◦; these heptagons fit together to tile the hyperbolic plane. The physical map of the hyperbolic plane is distorted, but in hyperbolic geometry itself all the heptagons have an identical size and shape."

Léonard de Pise,  (1175 − v.1250), aussi connu sous le nom de Leonardo Fibonacci, qui a rapporté d’Orient la notation numérique indo-arabe et a écrit et traduit des livres influents de mathématiques.

"The heptagonal hyperbolic honeycomb has an interesting relationship to the Fibonacci sequence

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .,

in which each number, starting with the third, is the sum of the preceding two. Imagine growing the hyperbolic honeycomb like a crystal, starting with the central white group of 8 heptagons as a seed. At each unit of time, adjoin a heptagon wherever there is a concave angle—that is, adjoin all the heptagons that touch at least two of the heptagons already present. At the first step, you will add 7 heptagons. Second, you will add the 14 green heptagons that fill out the next complete ring. On the third step, you add 21 heptagons, consisting of 14 red and 7 white heptagons (the centers of green groups). The sequence, if we include the ring of 7 white heptagons in the initial seed, goes

7, 7, 14, 21, 35, 56, 91, 147, 238, 385, 623, . . ..

Each term is the sum of the preceding two: this sequence is 7 times the Fibonacci sequence !"